Calcolo Esempi

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ e $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{5}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{5} u^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 - x^{2}$ .

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da $3$ .

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 2}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{5} {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 6.2

$\frac{3}{5}$ e ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{3 {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 6.3

Sposta ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Passaggio 7

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Passaggio 9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (- (2 x))$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} (- 2 x)$

Passaggio 12.2

$- 2$ e $\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} x$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} x$

Passaggio 12.4

$\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$