Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{x \ln (x)}$ come ${(x \ln (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x))}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 5.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$- {(x \ln (x))}^{- 2} (1 + \ln (x))$

Passaggio 6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x \ln (x))}^{2}} (1 + \ln (x))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la regola del prodotto a $x \ln (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} (1 + \ln (x))$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \cdot 1 - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} \ln (x)$

Passaggio 7.3.2

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x)}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

Passaggio 7.3.3

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ e $\ln^{2} (x)$ .

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Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$

Passaggio 7.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.3.2.1

Scomponi $\ln (x)$ da $x^{2} \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{\ln (x) \cdot 1}{\ln (x) (x^{2} \ln (x))}$

Passaggio 7.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

Passaggio 7.4

Riordina i termini.

$- \frac{1}{x^{2} \ln (x)} - \frac{1}{x^{2} \ln^{2} (x)}$