Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{10 t}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{10 t}{1 + t^{2}}$ rispetto a $t$ è $10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [\frac{t}{1 + t^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = 1 + t^{2}$ .

$10 \frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 \frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $1 + t^{2}$ per $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - t (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$10 \frac{1 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 8

Sottrai $2 t^{2}$ da $t^{2}$ .

$10 \frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 9

$10$ e $\frac{1 - t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{10 (1 - t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{10 + 10 (- t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{10 - 10 t^{2}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$\frac{- 10 t^{2} + 10}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$