Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{8} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2)} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 2.1

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sqrt{2} x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2} x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $2 \sqrt{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sqrt{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \sqrt{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt{x}}]$ .

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 4.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 4.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 4.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.14.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 4.14.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 4.14.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 4.14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 4.14.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.14.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 4.14.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.14.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 4.15

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \sqrt{2} x + 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 4.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \sqrt{2} x - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.17

$- 2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.18

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.19

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.19.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 4.19.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sqrt{2} x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.19.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sqrt{2} x + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \sqrt{2} x - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$4 x \sqrt{2} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$