Calcolo Esempi

f (x) = \frac{sin (x)}{x} + \frac{| sin (x) |}{x}

$f (x) = \frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di

\frac{sin (x)}{x} + \frac{| sin (x) |}{x}

$\frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [\frac{sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ .

\frac{d}{d x} [\frac{sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Passaggio 2

Calcola

\frac{d}{d x} [\frac{sin (x)}{x}]

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ e

g (x) = x

$g (x) = x$ .

\frac{x \frac{d}{d x} [sin (x)] - sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Passaggio 2.2

La derivata di

sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{x cos (x) - sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

\frac{x cos (x) - sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

\frac{x cos (x) - sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

\frac{x cos (x) - sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Passaggio 3

Calcola

\frac{d}{d x} [\frac{| sin (x) |}{x}]

$\frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

f (x) = | sin (x) |

$f (x) = | \sin (x) |$ e

g (x) = x

$g (x) = x$ .

\frac{x cos (x) - sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{d}{d x} [| sin (x) |] - | sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{d}{d x} [| \sin (x) |] - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è

$f' (g (x)) g' (x)$ dove

$f (x) = | x |$ e

$g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta

$u$ come

$\sin (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di

$| u |$ rispetto a

$u$ è

$\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$\sin (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

La derivata di

$\sin (x)$ rispetto a

$x$ è

$\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ e

$\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

$x$ e

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica

$\frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$ per

$\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} \cdot \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

Passaggio 3.9

Combina.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | (\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.10

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.11

Elimina il fattore comune di

$| \sin (x) |$ .

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Passaggio 3.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.12

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.13

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.14

Eleva

$\sin (x)$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | {\sin (x)}^{1 + 1} |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 3.16

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} \cdot \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di

$| \sin (x) | x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di

$1$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ per

$\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Riordina i fattori di

$| \sin (x) | x^{2}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) | + x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x)) + | \sin (x) | (- \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3.3

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi

$| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.3.4.1

Riordina i termini.

$\frac{x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.3.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (x \cos (x) - \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

$x \cos (x) - \sin (x)$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) (| \sin (x) | + \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$