Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{72}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{72}{5}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{48}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ come ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Passaggio 2.9

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Passaggio 2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

Passaggio 2.11

Somma $3$ e $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

Passaggio 2.12

Moltiplica $3$ per $2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

Passaggio 2.13

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

Passaggio 2.14

Eleva $3 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

Passaggio 2.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

Passaggio 2.16

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

Passaggio 2.17

$- 6$ e $\frac{48}{5}$ .

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.18

Moltiplica $- 6$ per $48$ .

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.19

$\frac{- 288}{5}$ e ${(3 x + 1)}^{- 3}$ .

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

Passaggio 2.20

Sposta ${(3 x + 1)}^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

Sottrai $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ da $0$ .

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$