Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + 0$

Passaggio 3.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$- x^{2} \csc^{2} (x) + 2 x \cot (x) + \frac{2}{x^{3}}$