Calcolo Esempi

$z^{7} - 1$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{7} - 1$

Passaggio 3.2

Eleva $1$ alla potenza di $7$ .

$1 - 1$

Passaggio 3.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $z - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{z^{7} - 1}{z - 1}$

Passaggio 5

Dividi $z^{7} - 1$ per $z - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z^{7}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z^{7} - z^{6}$

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z^{6}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z^{6} - z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z^{5}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z^{5} - z^{4}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Passaggio 5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Passaggio 5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Passaggio 5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Passaggio 5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z^{4} - z^{3}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Passaggio 5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Passaggio 5.21

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Passaggio 5.22

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Passaggio 5.23

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Passaggio 5.24

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z^{3} - z^{2}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Passaggio 5.25

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Passaggio 5.26

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Passaggio 5.27

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Passaggio 5.28

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Passaggio 5.29

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z^{2} - z$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Passaggio 5.30

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Passaggio 5.31

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Passaggio 5.32

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $z$ per il termine di ordine più alto nel divisore $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Passaggio 5.33

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Passaggio 5.34

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $z - 1$

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Passaggio 5.35

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$0$

Passaggio 5.36

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1$

Passaggio 6

Scrivi $z^{7} - 1$ come insieme di fattori.

$(z - 1) (z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)$