Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ è indefinita.

$x = - 8, x = 8$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 8$ da sinistra e $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 8$ da destra, allora $x = - 8$ è un asintoto verticale.

$x = - 8$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $8$ da sinistra e $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $8$ da destra, allora $x = 8$ è un asintoto verticale.

$x = 8$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 8, 8$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8^{2} - x^{2}}$

Passaggio 8.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 8$ e $b = x$ .

$\frac{x^{3}}{(8 + x) (8 - x)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(8 + x) (8 - x)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3}}{8 (8 - x) + x (8 - x)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

Passaggio 8.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

Passaggio 8.2.5

Riordina $x$ e $8$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x (- x)}$

Passaggio 8.2.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}$

Passaggio 8.2.7

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 \cdot (x \cdot x)}$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 1$ per $x$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - 1 x \cdot x}$

Passaggio 8.2.11

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Passaggio 8.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Passaggio 8.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Passaggio 8.2.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{1 + 1}}$

Passaggio 8.2.15

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{2}}$

Passaggio 8.2.16

Somma $- 8 x$ e $8 x$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 0 - x^{2}}$

Passaggio 8.2.17

Sottrai $x^{2}$ da $0$ .

$\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

Passaggio 8.2.18

Riordina $64$ e $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 64}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 64 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Passaggio 8.8

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

$0$

Passaggio 8.9

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- x + \frac{64 x}{- x^{2} + 64}$

Passaggio 8.10

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - x$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 8, 8$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - x$

Passaggio 10