Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $- x^{- 1}$ per $t$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- t^{- 1}) + 1^{- 1}$

Passaggio 4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{t \to \infty} - t^{- 1} + 1$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} t^{- 1} + lim_{t \to \infty} 1$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} + lim_{t \to \infty} 1$

Passaggio 5.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{t}$ tende a $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Passaggio 5.4

Calcola il limite.

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Passaggio 5.4.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$0 + 1$

Passaggio 5.4.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$