Calcolo Esempi

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 2 x + 3$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 2 x + 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Sposta ${u_{1}}^{- 0.5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , quindi ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 {u_{1}}^{0.5}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $0.5$ per $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica ${u_{1}}^{- 0.5}$ per $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ come un prodotto.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Passaggio 13

Applica la regola costante.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 16.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

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Passaggio 16.1.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.1.3.2

Moltiplica $0.5$ per $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $12$ .

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Passaggio 16.1.2.1

Scomponi $4$ da $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.2

Per scrivere $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 16.3

$- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Passaggio 16.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 16.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 16.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Passaggio 16.6

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.8.2

Scomponi $2$ da $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.9

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.10.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.10.2

Scomponi $2$ da $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.10.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Passaggio 16.10.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Passaggio 16.11

$- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Passaggio 16.12

$\frac{- 9}{2}$ e ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Passaggio 16.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Passaggio 16.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.14.1

Scomponi ${(2 x + 3)}^{0.5}$ da ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.14.1.1

Scomponi ${(2 x + 3)}^{0.5}$ da ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Passaggio 16.14.1.2

Scomponi ${(2 x + 3)}^{0.5}$ da $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Passaggio 16.14.1.3

Scomponi ${(2 x + 3)}^{0.5}$ da ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Passaggio 16.14.2

Sottrai $9$ da $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Passaggio 16.14.3

Scomponi $2$ da $2 x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.14.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Passaggio 16.14.3.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Passaggio 16.14.3.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Passaggio 16.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Passaggio 16.15.2

Dividi ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ per $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Passaggio 16.16

Applica la proprietà distributiva.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Passaggio 16.17

Sposta $- 3$ alla sinistra di ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Passaggio 16.18

Riordina i fattori in ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$