Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Passaggio 1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Passaggio 1.2.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = \ln (3)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = \ln (3)$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Passaggio 2.2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Passaggio 2.2.9.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Passaggio 2.3

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

Passaggio 2.4.1.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

Passaggio 2.4.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Somma $- 2$ e $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

Passaggio 2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(1, \ln (3))$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

Passaggio 3.3.2

Somma $\ln (3)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

Passaggio 4