Calcolo Esempi

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 8

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$