Calcolo Esempi

$\frac{2}{x^{2} + 1} \cdot (d x)$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

$d$ e $\frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1} \cdot x d x$

Passaggio 1.2

$\frac{d \cdot 2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\int \frac{d \cdot 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $d$ .

$\int \frac{2 d x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Poiché $2 d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 d$ fuori dall'integrale.

$2 d \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 d \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 d \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 d \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d (\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6.2

$\frac{2}{2}$ e $d$ .

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 d}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6.3.2

Dividi $d$ per $1$ .

$d \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$d (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$d \ln (| u |) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$d \ln (| x^{2} + 1 |) + C$