Calcolo Esempi

$\frac{4}{\sqrt{x}} + e^{3 x} + \frac{2}{x}$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{u}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{3 x}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} e^{3 x} + 2 \ln (| x |) + C$