Calcolo Esempi

$\cos^{4} (2 x)$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

$\cos^{4} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \cos^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\frac{1}{2} \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 5

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int {(\frac{1 + \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $\frac{1 + \cos (u_{2})}{2}$ come un prodotto.

$\frac{1}{4} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

Passaggio 8.3

Espandi ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.7

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.8

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.9

Sposta $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.10

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.11

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.12

Sposta $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.13

Riordina $\frac{1}{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{2})) d u_{2}$

Passaggio 8.3.14

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.16

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.17

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.18

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.19

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.20

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{2}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.21

$\frac{1}{4}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.22

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.23

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.24

Moltiplica $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.25

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.26

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.27

Moltiplica $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.28

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8.3.29

$\frac{\cos (u_{2})}{4}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.30

Eleva $\cos (u_{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.31

Eleva $\cos (u_{2})$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.32

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.33

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.34

Somma $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ e $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.35

$2$ e $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.36

Riordina $\frac{2 \cos (u_{2})}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.3.37

Riordina $\frac{1}{4}$ e $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $2$ da $2 \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

Passaggio 8.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{2})}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (u_{2})$ come $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 14

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 15

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 16

Sia $u_{3} = 2 u_{2}$ . Allora $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sia $u_{3} = 2 u_{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Differenzia $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Passaggio 16.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $2 u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Passaggio 16.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 16.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 16.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 17

$\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 18

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 19

L'integrale di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sin (u_{3})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 20

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 21

$\frac{1}{4}$ e $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 22

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 23

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{8} (u_{2} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C)) + \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 24

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{u_{2}}{4} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 24.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Per scrivere $\frac{u_{2}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 24.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.2.1

Moltiplica $\frac{u_{2}}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 24.2.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 24.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2} + u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 24.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{u_{2} + 2 \cdot u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 24.2.5

Somma $u_{2}$ e $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C$

Passaggio 25

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 25.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C$

Passaggio 25.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 25.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 25.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1.1

Scomponi $2$ da $3 (2 (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (2 x))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{3 (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.2.1

Scomponi $2$ da $3 (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{4} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2 (3 (x))}{2 \cdot 2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{3 (x)}{2} + \frac{\sin (2 (2 (2 x)))}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.3

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (4 \cdot 2 x)}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{\sin (2 (2 x))}{2}) + C$

Passaggio 26.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 x}{2} + \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Passaggio 26.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 26.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.3.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{3 x}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 26.3.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 26.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (8 x)}{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sin (8 x)}{16}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{4 \cdot 16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 26.3.2.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Passaggio 26.3.3

Moltiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 26.3.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin (8 x)}{64} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Passaggio 27

Riordina i termini.

$\frac{3}{8} x + \frac{1}{64} \sin (8 x) + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$