Calcolo Esempi

$\sin (2 x) \geq \sin (x)$

Passaggio 1

Sottrai $\sin (x)$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\sin (2 x) - \sin (x) \geq 0$

Passaggio 2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \geq 0$

Passaggio 3

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < π$

$π < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (1)) \geq \sin (1)$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ è maggiore del lato destro di $0.84147098$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (2)) \geq \sin (2)$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 0.75680249$ è minore del lato destro di $0.90929742$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $π < x < \frac{5 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < x < \frac{5 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (4)) \geq \sin (4)$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $0.98935824$ è maggiore del lato destro di $- 0.75680249$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (6)) \geq \sin (6)$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $- 0.53657291$ è minore del lato destro di $- 0.27941549$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.5

Testa un valore sull'intervallo $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 π < x < \frac{7 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 7$

Passaggio 10.5.2

Sostituisci $x$ con $7$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (7)) \geq \sin (7)$

Passaggio 10.5.3

Il lato sinistro di $0.99060735$ è maggiore del lato destro di $0.65698659$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 10.6

Testa un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 9$

Passaggio 10.6.2

Sostituisci $x$ con $9$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2 (9)) \geq \sin (9)$

Passaggio 10.6.3

Il lato sinistro di $- 0.75098724$ è minore del lato destro di $0.41211848$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 10.7

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Vero

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Vero

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < π$ Falso

$π < x < \frac{5 π}{3}$ Vero

$\frac{5 π}{3} < x < 2 π$ Falso

$2 π < x < \frac{7 π}{3}$ Vero

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n$ or $π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Passaggio 12

Combina gli intervalli.

$π + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 π n or 2 π n \leq x \leq \frac{π}{3} + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$[2 π + 2 π n, \frac{7 π}{3} + 2 π n] \cup [π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n] \cup [2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n]$

Passaggio 14