Calcolo Esempi

$\frac{x - 4}{x^{2} + 2 x} < 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 4$

$x = 0, - 2$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 4, 0, - 2$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{x - 4}{x^{2} + 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 4}{x^{2} + 2 x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 2 x = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Passaggio 10.2.1.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Passaggio 10.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Passaggio 10.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 10.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 10.2.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 10.2.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 10.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 4) - 4}{{(- 4)}^{2} + 2 (- 4)} < 0$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(- 1) - 4}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < 0$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $5$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(2) - 4}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < 0$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 0.25$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(6) - 4}{{(6)}^{2} + 2 (6)} < 0$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $0.041\overline{6}$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $0 < x < 4$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 4)$

Passaggio 15