Calcolo Esempi

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{y} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Per scrivere $- 2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.2

$- 2 x$ e $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi l'equazione per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $2 y^{2} x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x y' = 2 y^{2} x - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- x y' = 2 y^{2} x - y$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.3.1.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 y^{2}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 y^{2})$ come $- (2 y^{2})$ .

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

Passaggio 5.2.2.3.1.4

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$