Calcolo Esempi

$- \sqrt{x y} = x - 20 y$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x y}$ come ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(x y)}^{\frac{1}{2}} = x - 20 y$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- {(x y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 20 y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.7.3

Sposta ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.11

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y)$

Passaggio 3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Applica la regola del prodotto a $x y$ .

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y' + y)$

Passaggio 3.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y') - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} y' - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.2

$y'$ e $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{y' x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{y' (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{y' (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{y' x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{y' x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{y' x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.4.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

Passaggio 3.12.3.5

$y$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3.6

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3.7

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.7.1

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.7.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3.7.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 20 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 20 y]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 20 y]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 y$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 20 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - 20 y'$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \frac{y' (x^{\frac{1}{2}})}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 1 - 20 y'$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Somma $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} - 1 + 20 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

Passaggio 6.2

Scomponi $y'$ da $- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $y'$ da $- \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 20 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $y'$ da $20 y'$ .

$y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + y' \cdot 20 = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + y' \cdot 20$ .

$y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$

Passaggio 6.3

Dividi per $- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20$ ciascun termine in $y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20$ ciascun termine in $y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1$ .

$\frac{y' (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20)}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20} + \frac{1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20} + \frac{1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

Passaggio 6.3.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$ per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1}{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Combina.

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 20)}$

Passaggio 6.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Elimina il fattore comune di $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1.1

Scomponi $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}}) \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.1.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 6.3.3.4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.2.4

Dividi $2$ per $2$ .

$y' = \frac{y^{1} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.3

Semplifica $y^{1}$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.4.2

Scomponi $2 y^{\frac{1}{2}}$ da $2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.4.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.5

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.5.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.5.5

Dividi $2$ per $2$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{1} \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.4.6

Semplifica $x^{1} \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1.1.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5.1.1.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5.1.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{1} + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5.1.3

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{1}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5.1.4

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}})}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5.1.5

Scomponi $y^{\frac{1}{2}}$ da $y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}})}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x \cdot - 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.6.1.1.1

Riordina $x$ e $- 1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{- 1 \cdot x + 2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Passaggio 6.3.3.6.1.1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{- 1 \cdot x + 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 20 y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.1.1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{- 1 \cdot x + 2 \cdot 20 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 1 \cdot x$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 20 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.3.6.1.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot 20 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.6.1.4

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.6.2

Riscrivi $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ come $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 20 y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.6.3

Moltiplica $2$ per $20$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} + 40 y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{\frac{1}{2}}) + 40 y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.3.3.7.2

Scomponi $- 1$ da $40 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{\frac{1}{2}}) - (- 40 y^{\frac{1}{2}}))}$

Passaggio 6.3.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{\frac{1}{2}}) - (- 40 y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}}))}$

Passaggio 6.3.3.7.4

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.7.4.1

Riscrivi $- (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})$ come $- 1 (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (- 1 (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}}))}$

Passaggio 6.3.3.7.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 40 y^{\frac{1}{2}})}$