Calcolo Esempi

$\sec^{2} (x y) = y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sec^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x y)$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x y)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x y)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (x y)$ .

$2 \sec (x y) \frac{d}{d x} [\sec (x y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x y$ .

$2 \sec (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x y) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x y$ .

$2 \sec (x y) (\sec (x y) \tan (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.3

Eleva $\sec (x y)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (x y) \sec (x y)) (\tan (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.4

Eleva $\sec (x y)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{1} (x y) \sec^{1} (x y)) (\tan (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sec (x y)}^{1 + 1} (\tan (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.6

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sec^{2} (x y) (\tan (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 \sec^{2} (x y) \tan (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 \sec^{2} (x y) \tan (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (x y) \tan (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 \sec^{2} (x y) \tan (x y) (x y' + y)$

Passaggio 2.11

Semplifica.

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Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sec^{2} (x y) \tan (x y) (x y') + 2 \sec^{2} (x y) \tan (x y) y$

Passaggio 2.11.2

Riordina i termini.

$2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) y' + 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) y' + 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y) = y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) y' + 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$ .

$2 x y' \sec^{2} (x y) \tan (x y) + 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y) = y'$

Passaggio 5.2

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' \sec^{2} (x y) \tan (x y) + 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y) - y' = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y' \sec^{2} (x y) \tan (x y) - y' = - 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $2 x y' \sec^{2} (x y) \tan (x y) - y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $2 x y' \sec^{2} (x y) \tan (x y)$ .

$y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y)) - y' = - 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y)) + y' \cdot - 1 = - 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1) = - 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$

Passaggio 5.5

Dividi per $2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1$ ciascun termine in $y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1) = - 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1$ ciascun termine in $y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1) = - 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)$ .

$\frac{y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1} = \frac{- 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1} = \frac{- 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y \sec^{2} (x y) \tan (x y)}{2 x \sec^{2} (x y) \tan (x y) - 1}$