Calcolo Esempi

$\frac{9}{x} + \frac{9}{y} = 8$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{9}{x} + \frac{9}{y}) = \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{9}{x} + \frac{9}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$9 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{y}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $0$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $y'$ da $0$ .

$- 9 x^{- 2} + 9 \frac{- y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 x^{- 2} + 9 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 x^{- 2} - 9 \frac{y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.10

$- 9$ e $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 9 x^{- 2} + \frac{- 9 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 9 x^{- 2} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 9$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 9}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}}$

Passaggio 3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \frac{9}{x^{2}} - \frac{9 y'}{y^{2}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $\frac{9}{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{9}{x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{9 y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{9 y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $\frac{9 y'}{y^{2}}$ per $1$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} = \frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{9}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{9}{x^{2}}$ come $- \frac{9}{x^{2}}$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} = - \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$\frac{9 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{9}{x^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{9}{x^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$9 y' = - \frac{9}{x^{2}} y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica $- \frac{9}{x^{2}} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

$y^{2}$ e $\frac{9}{x^{2}}$ .

$9 y' = - \frac{y^{2} \cdot 9}{x^{2}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Sposta $9$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$9 y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{9 y'}{9} = \frac{- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}}{9}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y'}{9} = \frac{- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}}{9}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}}{9}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{9 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 5.5.3.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9 y^{2}}{x^{2}}$ nel numeratore.

$y' = \frac{- 9 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Scomponi $9$ da $- 9 y^{2}$ .

$y' = \frac{9 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{9 (- y^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 5.5.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$