Calcolo Esempi

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y^{2}$ per $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Sottrai $2 y y'$ da $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Passaggio 2.3.10

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Scomponi $y$ da $- 2 y y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Passaggio 2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.2.1

Scomponi $y$ da $y^{4}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Passaggio 2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Passaggio 2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Passaggio 2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $\frac{2}{x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $\frac{2 y'}{y^{3}}$ per $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ come $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica ogni lato per $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Passaggio 5.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

$y^{3}$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

Passaggio 5.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ nel numeratore.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

Passaggio 5.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$