Calcolo Esempi

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 6 x y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 x y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.5.2

Riordina i fattori di $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$6 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$6 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$6 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 3.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (2 x y y') + 6 y^{2}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x y y' + 6 y^{2}$

Passaggio 3.8.3

Riordina i termini.

$6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.1.4.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 6 y^{2} + 12 x y y'$

Passaggio 5.2

Sottrai $12 x y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2}$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $4 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $4 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' x^{2}$ .

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $4 y y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' x^{2} + 4 y y' y^{2} - 12 x y y' = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $4 y y'$ da $- 12 x y y'$ .

$4 y y' x^{2} + 4 y y' y^{2} + 4 y y' (- 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' x^{2} + 4 y y' y^{2}$ .

$4 y y' (x^{2} + y^{2}) + 4 y y' (- 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.4.5

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' (x^{2} + y^{2}) + 4 y y' (- 3 x)$ .

$4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Passaggio 5.5

Dividi per $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ ciascun termine in $4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ ciascun termine in $4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x) = 6 y^{2} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ .

$\frac{4 y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{x^{2} + y^{2} - 3 x} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 3 x)}{x^{2} + y^{2} - 3 x} = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{6 y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $6 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (3 y^{2})}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{2 (3 y^{2})}{2 (2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (3 y^{2})}{2 (2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 y^{2}}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (3 y)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.2.1

Scomponi $y$ da $2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{y (3 y)}{y (2 (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (3 y)}{y (2 (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x^{3}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x^{3})}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.5

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.5.2.1

Scomponi $4$ da $4 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))}$

Passaggio 5.5.3.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y (x^{2} + y^{2} - 3 x))}$

Passaggio 5.5.3.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- x y^{2}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.6

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.6.1

Scomponi $y$ da $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (- x y)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (- x y)}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.1.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{- x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$

Passaggio 5.5.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$

Passaggio 5.5.3.2

Per scrivere $- \frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{x y}{x^{2} + y^{2} - 3 x}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y \cdot 2}{(x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2}$

Passaggio 5.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} - \frac{x y \cdot 2}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{3 y - x y \cdot 2}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.1

Scomponi $y$ da $3 y - x y \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $3 y$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y \cdot 3 - x y \cdot 2}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $- x y \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y \cdot 3 + y (- x \cdot 2)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 3 + y (- x \cdot 2)$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - x \cdot 2)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.6

Per scrivere $- \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.7

Per scrivere $\frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 5.5.3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.8.1

Moltiplica $\frac{x^{3}}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2} + \frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 5.5.3.8.2

Moltiplica $\frac{y (3 - 2 x)}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$ per $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2} + \frac{y (3 - 2 x) y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x) y}$

Passaggio 5.5.3.8.3

Riordina i fattori di $y (x^{2} + y^{2} - 3 x) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - 2 x) y}{2 (x^{2} + y^{2} - 3 x) y}$

Passaggio 5.5.3.8.4

Riordina i fattori di $2 (x^{2} + y^{2} - 3 x) y$ .

$y' = - \frac{x^{3} \cdot 2}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)} + \frac{y (3 - 2 x) y}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x^{3} \cdot 2 + y (3 - 2 x) y}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.10.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y (3 - 2 x) y}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.10.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.10.2.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y \cdot y (3 - 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.10.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y^{2} (3 - 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{- 2 x^{3} + y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.10.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- 2 x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.10.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 3 y^{2} - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.11.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3}) + 3 y^{2} - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11.2

Scomponi $- 1$ da $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3}) - (- 3 y^{2}) - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3}) - (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3} - 3 y^{2}) - 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3} - 3 y^{2}) - (2 y^{2} x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{3} - 3 y^{2}) - (2 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.11.6.1

Riscrivi $- (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)$ come $- 1 (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x)}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 5.5.3.11.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{3} - 3 y^{2} + 2 y^{2} x}{2 y (x^{2} + y^{2} - 3 x)}$