Calcolo Esempi

$x^{5} y^{2} - x^{4} y + 2 x y^{3} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{5} y^{2} - x^{4} y + 2 x y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} y^{2} - x^{4} y + 2 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{5} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{5} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} (2 y y') + y^{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} y y' + y^{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $5$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4} y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y') - (4 y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - (x^{4} y') - (4 y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - x^{4} y' - 4 (y x^{3}) + 2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4} - x^{4} y' - 4 y x^{3} + 6 x y^{2} y' + 2 y^{3}$

Passaggio 2.5.4

Riordina i termini.

$2 y^{3} + 2 x^{5} y y' + 5 x^{4} y^{2} - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y'$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y^{3} + 2 x^{5} y y' + 5 x^{4} y^{2} - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{5} y y' + 5 x^{4} y^{2} - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $5 x^{4} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{5} y y' - x^{4} y' - 4 x^{3} y + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2}$

Passaggio 5.1.3

Somma $4 x^{3} y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{5} y y' - x^{4} y' + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $2 x^{5} y y' - x^{4} y' + 6 y^{2} x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $2 x^{5} y y'$ .

$x y' (2 x^{4} y) - x^{4} y' + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $- x^{4} y'$ .

$x y' (2 x^{4} y) + x y' (- x^{3}) + 6 y^{2} x y' = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $6 y^{2} x y'$ .

$x y' (2 x^{4} y) + x y' (- x^{3}) + x y' (6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $x y'$ da $x y' (2 x^{4} y) + x y' (- x^{3})$ .

$x y' (2 x^{4} y - x^{3}) + x y' (6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $x y'$ da $x y' (2 x^{4} y - x^{3}) + x y' (6 y^{2})$ .

$x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ ciascun termine in $x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ ciascun termine in $x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) = - 2 y^{3} - 5 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y$ .

$\frac{x y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} = \frac{- 2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} = \frac{- 2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{4} y^{2}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- 5 x^{4} y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{x (- 5 x^{3} y^{2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{x (- 5 x^{3} y^{2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{- 5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{4 x^{3} y}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3} y$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{x (4 x^{2} y)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{x (4 x^{2} y)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{5 x^{3} y^{2}}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2} x}{(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} - \frac{5 x^{3} y^{2} x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 2 y^{3} - 5 x^{3} y^{2} x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $- 2 y^{3} - 5 x^{3} y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y) - 5 x^{3} y^{2} x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $- 5 x^{3} y^{2} x$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y) + y^{2} (- 5 x^{3} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (- 2 y) + y^{2} (- 5 x^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{3} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 (x \cdot x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 (x^{1} x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{1 + 3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.5.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.6

Per scrivere $\frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.3.7.1

Moltiplica $\frac{4 x^{2} y}{2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y x}{(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Riordina i fattori di $(2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})} + \frac{4 x^{2} y x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} (- 2 y - 5 x^{4}) + 4 x^{2} y x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.3.9.1

Scomponi $y$ da $y^{2} (- 2 y - 5 x^{4}) + 4 x^{2} y x$ .

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Passaggio 5.3.3.9.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2} (- 2 y - 5 x^{4})$ .

$y' = \frac{y (y (- 2 y - 5 x^{4})) + 4 x^{2} y x}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.1.2

Scomponi $y$ da $4 x^{2} y x$ .

$y' = \frac{y (y (- 2 y - 5 x^{4})) + y (4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.1.3

Scomponi $y$ da $y (y (- 2 y - 5 x^{4})) + y (4 x^{2} x)$ .

$y' = \frac{y (y (- 2 y - 5 x^{4}) + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{y (y (- 2 y) + y (- 5 x^{4}) + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{y (- 2 y \cdot y + y (- 5 x^{4}) + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{y (- 2 y \cdot y - 5 y x^{4} + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.3.9.5.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{y (- 2 (y \cdot y) - 5 y x^{4} + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 x^{2} x)}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.9.6.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.3.3.9.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 x^{1 + 2})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.9.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} - 5 y x^{4} + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.3.3.10.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2}) - 5 y x^{4} + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 y x^{4}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2}) - (5 y x^{4}) + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{2}) - (5 y x^{4})$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} + 5 y x^{4}) + 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10.4

Scomponi $- 1$ da $4 x^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} + 5 y x^{4}) - (- 4 x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{2} + 5 y x^{4}) - (- 4 x^{3})$ .

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.10.6.1

Riscrivi $- (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})$ come $- 1 (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3}))}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.10.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} + 5 y x^{4} - 4 x^{3})}{x (2 x^{4} y - x^{3} + 6 y^{2})}$