Calcolo Esempi

$x^{5 y} = y^{6 x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = 5 y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori in $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ .

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = y$ e $g = 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

Passaggio 3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

Passaggio 3.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riordina i termini.

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Passaggio 3.6.2

Riordina i fattori in $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ .

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.1.1

Semplifica $5 \ln (x)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Passaggio 5.4.1.2

Semplifica $- 6 \ln (y)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Passaggio 5.4.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Passaggio 5.5

Riordina i fattori in $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ .

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

Passaggio 5.6

Sottrai $6 x y' y^{6 x - 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

Passaggio 5.7

Somma $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Passaggio 5.8

Scomponi $y'$ da $y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

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Passaggio 5.8.1

Scomponi $y'$ da $y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Passaggio 5.8.2

Scomponi $y'$ da $- 6 x y' y^{6 x - 1}$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Passaggio 5.8.3

Scomponi $y'$ da $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ .

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

Passaggio 5.9

Dividi per $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ ciascun termine in $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ e semplifica.

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Passaggio 5.9.1

Dividi per $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ ciascun termine in $y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ .

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ .

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Passaggio 5.9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.9.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.9.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 5 y x^{5 y - 1}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.3.3

Scomponi $- 1$ da $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.9.3.5.1

Riscrivi $- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ come $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ .

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 5.9.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$