Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 1.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{3}{4}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Passaggio 2.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Semplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Combina.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4.1.1.3.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.6

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Passaggio 2.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $2, - 2$ .

$2, - 2$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.3

$- 3$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $12$ da $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $\frac{15}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 2)$ .

Crescente su $(- \infty, - 2)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 2, 2)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = - 3$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 2, 2)$ .

Decrescente su $(- 2, 2)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Passaggio 7.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

Passaggio 7.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.2.3

$- 3$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $12$ da $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $\frac{15}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Decrescente su: $(- 2, 2)$

Passaggio 9