Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.3.2.2

Somma $- 32 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.5.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Passaggio 1.1.6.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$32 x = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $32$ ciascun termine in $32 x = 0$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $32$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Imposta ${(x + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Imposta ${(x + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Risolvi ${(x + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.2.3

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0^{2} - 16}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0 - 16}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$\frac{0}{- 16}$

Passaggio 4.1.2.3

Dividi $0$ per $- 16$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 4$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 16}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{16 - 16}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{0}$

Passaggio 4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} - 16}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{16 - 16}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{0}$

Passaggio 4.3.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Passaggio 5