Calcolo Esempi

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 2 y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Per scrivere $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.2

Per scrivere $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x y' - y}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x^{2} y^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Moltiplica $\frac{x y' - y}{x^{2}}$ per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.2

Moltiplica $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.3

Riordina i fattori di $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{(x y' - y) y^{2}}{x^{2} y^{2}} + \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 2.4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x y' - y) y^{2} + (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 2 y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y^{2}) = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} (x y' - y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} (x y') + y^{2} (- y) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} x y' - y^{2} y + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.1

Sposta $y$ .

$y^{2} x y' - (y \cdot y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} x y' - (y^{1} y^{2}) + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} x y' - y^{1 + 2} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} (y - x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y + x^{2} (- x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{2} (x y') = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.6.1

Sposta $x$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x \cdot x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - (x^{1} x^{2}) y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{1 + 2} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.2.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$y^{2} x y' - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Sposta $y^{2}$ .

$x y' y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Riordina $x$ e $y'$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - x^{3} y' = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3.3

Sposta $x^{3}$ .

$y' x y^{2} - y^{3} + x^{2} y - y' x^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3.4

Sposta $- y^{3}$ .

$y' x y^{2} + x^{2} y - y' x^{3} - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3.5

Sposta $x^{2} y$ .

$y' x y^{2} - y' x^{3} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.1.1.3.6

Riordina $y' x y^{2}$ e $- y' x^{3}$ .

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' (x^{2} y^{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} = 2 y' x^{2} y^{2}$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $2 y' x^{2} y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = 0$

Passaggio 5.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - y^{3} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $y^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y' x$ da $- y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y' x$ da $- y' x^{3}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y' x$ da $y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} - 2 y' x^{2} y^{2} = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y' x$ da $- 2 y' x^{2} y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2} + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $y' x$ da $y' x (- 1 x^{2}) + y' x y^{2}$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $y' x$ da $y' x (- 1 x^{2} + y^{2}) + y' x (- 2 x y^{2})$ .

$y' x (- 1 x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$

Passaggio 5.3.5

Dividi per $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ ciascun termine in $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Dividi per $x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})$ ciascun termine in $y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) = - x^{2} y + y^{3}$ .

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- x^{2} y}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (- x y)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.2

Per scrivere $- \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{x y}{- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{x y x}{(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2}) x$ .

$y' = - \frac{x y x}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})} + \frac{y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x y x + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.5.1

Scomponi $y$ da $- x y x + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $- x y x$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y^{3}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y (- x \cdot x) + y \cdot y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x \cdot x + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.5.2

Riscrivi $x \cdot x$ come $x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- x^{2} + y^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.5.3

Riordina $- x^{2}$ e $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y^{2} - x^{2})}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.5.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- x^{2} + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) + y^{2} - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2}) - 1 (- y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - 2 x y^{2})}$

Passaggio 5.3.5.3.6.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2}))}$

Passaggio 5.3.5.3.6.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - y^{2}) - (2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Passaggio 5.3.5.3.6.6

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.6.6.1

Riscrivi $- (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ come $- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y + x) (y - x)}{x (- 1 (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2}))}$

Passaggio 5.3.5.3.6.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + x) (y - x)}{x (x^{2} - y^{2} + 2 x y^{2})}$