Calcolo Esempi

$x^{x} y^{2} + 3 y = 4 x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{x} y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{x} y^{2} + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{x}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$x^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{x} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$x^{x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.4

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.4.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{x}$ .

$2 \cdot x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.10

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.2.12

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} \cdot 1 + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y' = 4$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x)$ .

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $- 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$ .

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione come $- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 5.5

Riordina i fattori in $y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}$

Passaggio 5.6

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Passaggio 5.7

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' x^{x} - 3 y'$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $y'$ da $- 2 y y' x^{x}$ .

$y' (- 2 y x^{x}) - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Passaggio 5.7.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y'$ .

$y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Passaggio 5.7.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

Passaggio 5.8

Dividi per $- 2 y x^{x} - 3$ ciascun termine in $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ e semplifica.

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Passaggio 5.8.1

Dividi per $- 2 y x^{x} - 3$ ciascun termine in $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ .

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2 y x^{x} - 3$ .

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Passaggio 5.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Passaggio 5.8.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Passaggio 5.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Passaggio 5.8.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

Passaggio 5.8.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 y x^{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 3}$

Passaggio 5.8.3.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 1 (3)}$

Passaggio 5.8.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 y x^{x}) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x} + 3)}$

Passaggio 5.8.3.7

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.8.3.7.1

Riscrivi $- (2 y x^{x} + 3)$ come $- 1 (2 y x^{x} + 3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 1 (2 y x^{x} + 3)}$

Passaggio 5.8.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$