Calcolo Esempi

$\frac{x y - y^{2}}{y - x} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{x y - y^{2}}{y - x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x y - y^{2}$ e $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [x y - y^{2}] - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{(y - x) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 (y \frac{d}{d x} [y])) - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') - (x y - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(y - x) (x y' + y - 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.1

Espandi $(y - x) (x y' + y - 2 y y')$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{y (x y') + y \cdot y + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.2.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} + y (- 2 y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y (y y') - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.2.3.1

Sposta $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 (y \cdot y) y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x (x y') - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - (x \cdot x) y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y - x (- 2 y y') + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{y (x y') + y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.3

Somma $y (x y')$ e $2 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.3.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + x y y' + 2 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.3.2

Somma $x y y'$ e $2 x y y'$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- (x y) - - y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.4

Moltiplica $- - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + 1 y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' + (- x y + y^{2}) (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.5

Espandi $(- x y + y^{2}) (y' - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y (y' - 1) + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' - x y \cdot - 1 + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.6.1

Moltiplica $- x y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + 1 x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.6.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' + y^{2} \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - 1 \cdot y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.1.6.3

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.2

Combina i termini opposti in $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' - x y + 3 x y y' - x y y' + x y + y^{2} y' - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.2.1

Somma $- x y$ e $x y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + 0 + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.2.2

Somma $y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'$ e $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' - y^{2}}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.2.3

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y' + 0}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.2.4

Somma $- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'$ e $0$ .

$\frac{- 2 y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y' + y^{2} y'}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.3

Somma $- 2 y^{2} y'$ e $y^{2} y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 3 x y y' - x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.2.4

Sottrai $x y y'$ da $3 x y y'$ .

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(y - x)}^{2}}$

Passaggio 2.14.3

Riordina i termini.

$\frac{- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.1

Scomponi $y'$ da $- y^{2} y' - x^{2} y' + 2 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.1.1

Scomponi $y'$ da $- y^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) - x^{2} y' + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.1.2

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + 2 x y y'}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.1.3

Scomponi $y'$ da $2 x y y'$ .

$\frac{y' (- y^{2}) + y' (- x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.1.4

Scomponi $y'$ da $y' (- y^{2}) + y' (- x^{2})$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.1.5

Scomponi $y'$ da $y' (- y^{2} - x^{2}) + y' (2 x y)$ .

$\frac{y' (- y^{2} - x^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.2.1.1

Riordina i termini.

$\frac{y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.1.2

Riordina $- y^{2}$ e $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 x y$ .

$\frac{y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.1.4

Riscrivi $2$ come $1$ più $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.1.6

Moltiplica $x y$ per $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.1.7

Moltiplica $x y$ per $1$ .

$\frac{y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{y' (x (- x + y) - y (- x + y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + y$ .

$\frac{y' ((- x + y) (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

$\frac{y' (- x + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.4.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{y' (- (x) + y) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{y' (- (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.4

Riscrivi $- (x - y)$ come $- 1 (x - y)$ .

$\frac{y' (- 1 (x - y)) (x - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.5

Eleva $x - y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} (x - y))}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.6

Eleva $x - y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 ({(x - y)}^{1} {(x - y)}^{1})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{1 + 1}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{y' \cdot - 1 {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.4.4

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- y' {(x - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5

Elimina il fattore comune di ${(x - y)}^{2}$ e ${(- x + y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.5.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.2

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x) - (y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{- y' {(- 1 (- x + y))}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.4

Applica la regola del prodotto a $- 1 (- x + y)$ .

$\frac{- y' ({(- 1)}^{2} {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- y' (1 {(- x + y)}^{2})}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.6

Moltiplica ${(- x + y)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.7

Elimina il fattore comune.

$\frac{- y' {(- x + y)}^{2}}{{(- x + y)}^{2}}$

Passaggio 2.14.5.8

Dividi $- y'$ per $1$ .

$- y'$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y' = 0$

Passaggio 5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y' = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y' = 0$ .

$\frac{- y'}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y'}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$y' = 0$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 0$