Calcolo Esempi

$y^{2} = \frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 49}{x^{2} + 49})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 49$ e $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} - 49] - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Poiché $- 49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x + 0) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 49$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - (x^{2} - 49) (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 49) x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 (x^{2} - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 49) x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 \cdot 49 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 49 x$ .

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Passaggio 3.3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 49 x + 0 - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.1.2

Somma $2 \cdot 49 x$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 49 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $49$ .

$\frac{98 x - 2 \cdot - 49 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 49$ .

$\frac{98 x + 98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.3

Somma $98 x$ e $98 x$ .

$\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 5

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}}{2 y}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{196 x}{{(x^{2} + 49)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$y' = \frac{196 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $196$ e $2$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $196 x \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da ${(x^{2} + 49)}^{2} (2 y)$ .

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (98 x \cdot 1)}{2 ({(x^{2} + 49)}^{2} (y))}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{98 x \cdot 1}{{(x^{2} + 49)}^{2} (y)}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $98$ per $1$ .

$y' = \frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$

Passaggio 5.3.4.2

Riordina i fattori in $\frac{98 x}{{(x^{2} + 49)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{98 x}{y {(x^{2} + 49)}^{2}}$