Calcolo Esempi

$y = \frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(3 x - 4)}^{4}$ e $g (x) = {(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{({(2 x + 3)}^{7})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 3)}^{7})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{7 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{4 \cdot {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + 0) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \cdot 3 - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.4.7.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} (2 \cdot {(2 x + 3)}^{6})}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.6.7.3

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Scomponi $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ da $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Scomponi $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ da $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Scomponi $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ da $- 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.1.3

Scomponi $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ da $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3) - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.6

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.7

Moltiplica $- 7$ per $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.8

Sottrai $21 x$ da $12 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 18 + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.1.9

Somma $18$ e $28$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune di ${(2 x + 3)}^{6}$ e ${(2 x + 3)}^{14}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Scomponi ${(2 x + 3)}^{6}$ da $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

Passaggio 3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Scomponi ${(2 x + 3)}^{6}$ da ${(2 x + 3)}^{14}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- 9 x$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi $46$ come $- 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) - 1 (- 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (9 x) - 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.6

Riscrivi $- (9 x - 46)$ come $- 1 (9 x - 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 1 (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 3.7.8

Riordina i fattori in $- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$ .

$- \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$