Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{x}}{1 + x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{1 + x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(1 + x) e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Combina i termini opposti in $e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Somma $x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{x e^{x}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $\frac{e^{x} x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$