Calcolo Esempi

$y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ come ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.2.2.2

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.7.2

$x^{- \frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- - \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.7.3.2

Moltiplica $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ per $1$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.7.3.3

Sposta $x^{- \frac{5}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot 0$

Passaggio 4.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.9.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ per $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}} + 0$

Passaggio 4.9.2

Somma $\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$