Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{7}}$ come ${({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + 5)}^{7})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{7 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{- 7}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 7}$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 5$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} (2 + 0)$

Passaggio 3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$- 7 {(2 x + 5)}^{- 8} \cdot 2$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$- 14 {(2 x + 5)}^{- 8}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

$- 14$ e $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 3.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{14}{{(2 x + 5)}^{8}}$