Calcolo Esempi

$x \cos (x y) = x + y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x \cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x (- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y) \cdot 1$

Passaggio 2.8

Moltiplica $\cos (x y)$ per $1$ .

$x (- \sin (x y) (x y' + y)) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (- \sin (x y) (x y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 1} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} (- \sin (x y) (y')) + x (- \sin (x y) y) + \cos (x y)$

Passaggio 2.9.4

Riordina i termini.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x^{2} \sin (x y) y' - x y \sin (x y) + \cos (x y)$ .

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) = 1 + y'$

Passaggio 5.2

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} y' \sin (x y) - x y \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $x y \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} y' \sin (x y) + \cos (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y)$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $\cos (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} y' \sin (x y) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y' \sin (x y) - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $- x^{2} y' \sin (x y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y)) - y' = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x^{2} \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$

Passaggio 5.5

Dividi per $- x^{2} \sin (x y) - 1$ ciascun termine in $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $- x^{2} \sin (x y) - 1$ ciascun termine in $y' (- x^{2} \sin (x y) - 1) = 1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- x^{2} \sin (x y) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (x y) - 1)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{- \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{- x^{2} \sin (x y) - 1} + \frac{x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1} - \frac{\cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- x^{2} \sin (x y) - 1}$

Passaggio 5.5.3.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1}$

Passaggio 5.5.3.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)}$

Passaggio 5.5.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Passaggio 5.5.3.7

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.7.1

Riscrivi $- (x^{2} \sin (x y) + 1)$ come $- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{- 1 (x^{2} \sin (x y) + 1)}$

Passaggio 5.5.3.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + x y \sin (x y) - \cos (x y)}{x^{2} \sin (x y) + 1}$