Calcolo Esempi

$8 \sqrt{y} = x - 3 y$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$8 y^{\frac{1}{2}} = x - 3 y$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (8 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x - 3 y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 y^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.9

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $8$ .

$\frac{8}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.11

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Scomponi $2$ da $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (y^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.13

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}} y'$

Passaggio 3.14

$\frac{4}{y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 y$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - 3 y'$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} = 1 - 3 y'$

Passaggio 6

Risolvi per $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica ogni lato per $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y' = (1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $(1 - 3 y') y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y' = 1 y^{\frac{1}{2}} - 3 y' y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$4 y' = y^{\frac{1}{2}} - 3 y' y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riordina $y^{\frac{1}{2}}$ e $- 3 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y' = - 3 y' y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $3 y' y^{\frac{1}{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 y' + 3 y' y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.2

Trova un fattore comune $y^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 y' y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.3.3

Sostituisci $y^{\frac{1}{2}}$ per $u$ .

$4 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 y' u - (u) = 0$

Passaggio 6.3.4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 y' u - u = 0$

Passaggio 6.3.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 y' u - u = 0$

Passaggio 6.3.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {y'}^{1} + 3 y' u - u = 0$

Passaggio 6.3.4.1.2

Semplifica.

$4 y' + 3 y' u - u = 0$

Passaggio 6.3.4.2

Sottrai $4 y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y' u - u = - 4 y'$

Passaggio 6.3.4.3

Scomponi $u$ da $3 y' u - u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.3.1

Scomponi $u$ da $3 y' u$ .

$u (3 y') - u = - 4 y'$

Passaggio 6.3.4.3.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$u (3 y') + u \cdot - 1 = - 4 y'$

Passaggio 6.3.4.3.3

Scomponi $u$ da $u (3 y') + u \cdot - 1$ .

$u (3 y' - 1) = - 4 y'$

Passaggio 6.3.4.4

Dividi per $3 y' - 1$ ciascun termine in $u (3 y' - 1) = - 4 y'$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.1

Dividi per $3 y' - 1$ ciascun termine in $u (3 y' - 1) = - 4 y'$ .

$\frac{u (3 y' - 1)}{3 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{3 y' - 1}$

Passaggio 6.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y' - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u (3 y' - 1)}{3 y' - 1} = \frac{- 4 y'}{3 y' - 1}$

Passaggio 6.3.4.4.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 4 y'}{3 y' - 1}$

Passaggio 6.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{4 y'}{3 y' - 1}$

Passaggio 6.3.5

Sostituisci $u$ per $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4 y'}{3 y' - 1}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y'}{3 y' - 1}$