Calcolo Esempi

$7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2} = 40$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (7 {(x^{2} + 1)}^{6} + {(y^{2} + 1)}^{2}) = \frac{d}{d x} (40)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(y^{2} + 1)}^{2}$ come $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + (y^{2} + 1) (y^{2} + 1)]$

Passaggio 2.2

Espandi $(y^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{2} + 1)]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + 1 y^{2} + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1 \cdot 1]$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + y^{2} + y^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.2

Somma $y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1]$

Passaggio 2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 {(x^{2} + 1)}^{6} + y^{4} + 2 y^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [7 {(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 {(x^{2} + 1)}^{6}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + 1$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$7 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 1$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$7 (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$7 (12 {(x^{2} + 1)}^{5} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica $12$ per $7$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.6

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Passaggio 2.6.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.6.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.6.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.6.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $y$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.7.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y' + 0$

Passaggio 2.9

Semplifica.

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Passaggio 2.9.1

Somma $84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$ e $0$ .

$84 {(x^{2} + 1)}^{5} x + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Passaggio 2.9.2

Riordina i termini.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y'$

Passaggio 3

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$84 x {(x^{2} + 1)}^{5} + 4 y^{3} y' + 4 y y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y^{3} y' + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Passaggio 5.2

Scomponi $4 y y'$ da $4 y^{3} y' + 4 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $4 y y'$ da $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1 = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $4 y y'$ da $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 1$ .

$4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$

Passaggio 5.3

Dividi per $4 y (y^{2} + 1)$ ciascun termine in $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4 y (y^{2} + 1)$ ciascun termine in $4 y y' (y^{2} + 1) = - 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 1)}{4 y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (y^{2} + 1)}{y (y^{2} + 1)} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} + 1)}{y^{2} + 1} = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 84$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 84 x {(x^{2} + 1)}^{5}$ .

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 y (y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5})}{4 (y (y^{2} + 1))}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x {(x^{2} + 1)}^{5}}{y (y^{2} + 1)}$