Calcolo Esempi

$\cos (x + y) = y \sin (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y \sin (x))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riordina i fattori in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + \sin (x) y'$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + y' \sin (x)$

Passaggio 5.3

Sottrai $y' \sin (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x)$

Passaggio 5.4

Somma $\sin (x + y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $- y' \sin (x + y) - y' \sin (x)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $- y' \sin (x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- y' \sin (x)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x))$ .

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 \sin (x + y)$ come $- \sin (x + y)$ .

$y' (- \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Passaggio 5.7

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

Passaggio 5.8

Dividi per $- \sin (x + y) - \sin (x)$ ciascun termine in $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.8.1

Dividi per $- \sin (x + y) - \sin (x)$ ciascun termine in $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune di $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

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Passaggio 5.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.8.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.1.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

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Passaggio 5.8.3.1.3.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.1.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))}$

Passaggio 5.8.3.1.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))}$

Passaggio 5.8.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.8.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.8.3.2.5.1

Riscrivi $- (y \cos (x) + \sin (x + y))$ come $- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 5.8.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$