Calcolo Esempi

$5 x^{2} y = - 8 - 8 x y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (- 8 - 8 x y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x))$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x)$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x$

Passaggio 2.6.3

Riordina i termini.

$5 x^{2} y' + 10 x y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 8 - 8 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 8 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- 8 x y^{2}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 8 x y^{2}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$0 - 8 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$0 - 8 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 - 8 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 8 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 - 8 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 - 8 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 8 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$0 - 8 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$0 - 8 (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - 8 (2 x y y') - 8 y^{2}$

Passaggio 3.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$0 - 16 (x y y') - 8 y^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $- (- 16 x y y' - 8 y^{2})$ da $0$ .

$- 16 x y y' - 8 y^{2}$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$- 8 y^{2} - 16 x y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$5 x^{2} y' + 10 x y = - 8 y^{2} - 16 x y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $16 x y y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} y' + 10 x y + 16 x y y' = - 8 y^{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $10 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} y' + 16 x y y' = - 8 y^{2} - 10 x y$

Passaggio 5.3

Scomponi $x y'$ da $5 x^{2} y' + 16 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $x y'$ da $5 x^{2} y'$ .

$x y' (5 x) + 16 x y y' = - 8 y^{2} - 10 x y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $x y'$ da $16 x y y'$ .

$x y' (5 x) + x y' (16 y) = - 8 y^{2} - 10 x y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x y'$ da $x y' (5 x) + x y' (16 y)$ .

$x y' (5 x + 16 y) = - 8 y^{2} - 10 x y$

Passaggio 5.4

Dividi per $x (5 x + 16 y)$ ciascun termine in $x y' (5 x + 16 y) = - 8 y^{2} - 10 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $x (5 x + 16 y)$ ciascun termine in $x y' (5 x + 16 y) = - 8 y^{2} - 10 x y$ .

$\frac{x y' (5 x + 16 y)}{x (5 x + 16 y)} = \frac{- 8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (5 x + 16 y)}{x (5 x + 16 y)} = \frac{- 8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (5 x + 16 y)}{5 x + 16 y} = \frac{- 8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $5 x + 16 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (5 x + 16 y)}{5 x + 16 y} = \frac{- 8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 x y}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} + \frac{- 10 y}{5 x + 16 y}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} - \frac{10 y}{5 x + 16 y}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $- \frac{10 y}{5 x + 16 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} - \frac{10 y}{5 x + 16 y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (5 x + 16 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{10 y}{5 x + 16 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} - \frac{10 y x}{(5 x + 16 y) x}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(5 x + 16 y) x$ .

$y' = - \frac{8 y^{2}}{x (5 x + 16 y)} - \frac{10 y x}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 8 y^{2} - 10 y x}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.5

Scomponi $2 y$ da $- 8 y^{2} - 10 y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1

Scomponi $2 y$ da $- 8 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y (- 4 y) - 10 y x}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Scomponi $2 y$ da $- 10 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- 4 y) + 2 y (- 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.5.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (- 4 y) + 2 y (- 5 x)$ .

$y' = \frac{2 y (- 4 y - 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 4 y$ .

$y' = \frac{2 y (- (4 y) - 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 5 x$ .

$y' = \frac{2 y (- (4 y) - (5 x))}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (4 y) - (5 x)$ .

$y' = \frac{2 y (- (4 y + 5 x))}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.9.1

Riscrivi $- (4 y + 5 x)$ come $- 1 (4 y + 5 x)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (4 y + 5 x))}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{(2 y) (4 y + 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 5.4.3.9.3

Riordina i fattori in $- \frac{(2 y) (4 y + 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$ .

$y' = - \frac{2 y (4 y + 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (4 y + 5 x)}{x (5 x + 16 y)}$