Calcolo Esempi

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x y)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x y)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x y$ .

$6 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$6 y y' - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 3.4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 3.4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 3.4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 3.4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 3.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 3.4.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.9

$- 5$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 y y' - \cos (x y) (x y') - \cos (x y) y - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.5.2

Riordina i termini.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.1.1

Riordina i fattori in $6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 y y' - x y' \cos (x y) - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Somma $y \cos (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 y y' - x y' \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = y \cos (x y)$

Passaggio 6.2.2

Somma $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 y y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3

Scomponi $y'$ da $6 y y' - x y' \cos (x y)$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $y'$ da $6 y y'$ .

$y' (6 y) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y'$ da $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (6 y) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (6 y) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.4

Dividi per $6 y - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Dividi per $6 y - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.2.1

Elimina il fattore comune di $6 y - x \cos (x y)$ .

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Passaggio 6.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$

Passaggio 6.4.3.1.2

Moltiplica $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 6.4.3.2

Per scrivere $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 6.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(6 y - x \cos (x y)) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 6.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 6.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 6.4.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.4.3.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 6.4.3.5.2

Riordina i fattori in $\frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$ .

$y' = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$