Calcolo Esempi

$x = \frac{t^{2} + 1}{3 t}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{3 t})$

Passaggio 2

La derivata di $x$ rispetto a $t$ è $x'$ .

$x'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t^{2} + 1}{3 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 1}{t}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2} + 1$ e $g (t) = t$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1) \cdot 1}{t^{2}}$

Passaggio 3.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 1)}{3 t^{2}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 1}{3 t^{2}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Passaggio 3.10.2.2

Sottrai $t^{2}$ da $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1}{3 t^{2}}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 1^{2}}{3 t^{2}}$

Passaggio 3.10.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t$ e $b = 1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x' = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 1)}{3 t^{2}}$