Calcolo Esempi

$w = {(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3})$

Passaggio 2

La derivata di $w$ rispetto a $x$ è $w'$ .

$w'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 4)}^{3}$ e $g (x) = {(x - 4)}^{- 3}$ .

${(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}] + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 4$ .

${(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 4$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 4$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x - 4)}^{- 3}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 3.5.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + 0)$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ .

${(x + 4)}^{3} \frac{- 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(x + 4)}^{3} (- \frac{3}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.3.3

${(x + 4)}^{3}$ e $\frac{3}{{(x - 4)}^{4}}$ .

$- \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x + 4)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.3.5

$3$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

Passaggio 3.6.3.6

$\frac{3}{{(x - 4)}^{3}}$ e ${(x + 4)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$

Passaggio 3.6.3.7

Per scrivere $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Passaggio 3.6.3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(x - 4)}^{4}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.6.3.8.1

Moltiplica $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ per $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} (x - 4)}$

Passaggio 3.6.3.8.2

Moltiplica ${(x - 4)}^{3}$ per $x - 4$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.3.8.2.1

Moltiplica ${(x - 4)}^{3}$ per $x - 4$ .

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Passaggio 3.6.3.8.2.1.1

Eleva $x - 4$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} {(x - 4)}^{1}}$

Passaggio 3.6.3.8.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3 + 1}}$

Passaggio 3.6.3.8.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.4.1

Scomponi $3 {(x + 4)}^{2}$ da $- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ .

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Passaggio 3.6.4.1.1

Scomponi $3 {(x + 4)}^{2}$ da $- 3 {(x + 4)}^{3}$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Scomponi $3 {(x + 4)}^{2}$ da $3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4) + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 1 \cdot 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.4

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (0 - 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.5

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.6

Sottrai $4$ da $- 4$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.4.7

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{- 24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 3.6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$w' = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

Passaggio 5

Sostituisci $w'$ con $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$