Calcolo Esempi

$w = {(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 7)}^{- 1} (x + 5))$

Passaggio 2

La derivata di $w$ rispetto a $x$ è $w'$ .

$w'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x - 7)}^{- 1}$ e $g (x) = x + 5$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica ${(2 x - 7)}^{- 1}$ per $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 7)}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 2 x - 7$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 7$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 7])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 7]))$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} (2 + 0))$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.6.1

Somma $2$ e $0$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- {(2 x - 7)}^{- 2} \cdot 2)$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${(2 x - 7)}^{- 1} + (x + 5) (- 2 {(2 x - 7)}^{- 2})$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riordina i termini.

$- 2 {(2 x - 7)}^{- 2} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} (x + 5) + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} x - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.5

$x$ e $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5 + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $- \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} \cdot 5$ .

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Passaggio 3.5.2.6.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} - 5 \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.6.2

$- 5$ e $\frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 5 \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.6.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.2.7.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{2 \cdot x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{- 10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + {(2 x - 7)}^{- 1}$

Passaggio 3.5.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7}$

Passaggio 3.5.3

Per scrivere $\frac{1}{2 x - 7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{1}{2 x - 7} \cdot \frac{2 x - 7}{2 x - 7} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(2 x - 7)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x - 7}$ per $\frac{2 x - 7}{2 x - 7}$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{(2 x - 7) (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.2

Eleva $2 x - 7$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} (2 x - 7)} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.3

Eleva $2 x - 7$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1} {(2 x - 7)}^{1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 x}{{(2 x - 7)}^{2}} + \frac{2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6

Combina i termini opposti in $\frac{- 2 x + 2 x - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$ .

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Passaggio 3.5.6.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{0 - 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6.2

Sottrai $7$ da $0$ .

$\frac{- 7}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 7 - 10}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.8

Sottrai $10$ da $- 7$ .

$\frac{- 17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 3.5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$w' = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $w'$ con $\frac{d w}{d x}$ .

$\frac{d w}{d x} = - \frac{17}{{(2 x - 7)}^{2}}$