Calcolo Esempi

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=e^{x^2}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Riscrivi ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ come ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Differenzia usando la regola della catena, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2}$.

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=2}$.

Poiché ${\displaystyle -3}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle -3{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Differenzia usando la regola della catena, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=y^2+2}$.

Secondo la regola della somma, la derivata di ${\displaystyle y^2+2}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y^2\right]+\frac{d}{dx}\left[2\right]}$.

Differenzia usando la regola della catena, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=y}$.

Riscrivi ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[y\right]}$ come ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Poiché ${\displaystyle 2}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle 2}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle 0}$.

Per scrivere ${\displaystyle -1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Semplifica il numeratore.

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Somma ${\displaystyle 2yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ e ${\displaystyle 0}$.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ e ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

${\displaystyle 2}$ e ${\displaystyle \frac{{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle \frac{2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

${\displaystyle \frac{y\left(2{(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}\right)}{2}}$ e ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Sposta ${\displaystyle {(y^2+2)}^{-\frac{1}{2}}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Sposta ${\displaystyle 2}$ alla sinistra di ${\displaystyle y}$.

Elimina il fattore comune.

Riscrivi l'espressione.

${\displaystyle -3}$ e ${\displaystyle \frac{yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Sposta il negativo davanti alla frazione.

Riordina i termini.

Riordina i fattori in ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2e^{x^2}xy-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

Moltiplica ogni termine in ${\displaystyle e^{x^2}y\mathrm{<mo>\prime </mo>}+2xy{e}^{x^2}-\frac{3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}{{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}=2x}$ per ${\displaystyle {(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Semplifica il lato sinistro.

Sottrai ${\displaystyle 2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

Scomponi ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$ da ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3yy\mathrm{<mo>\prime </mo>}}$.

Dividi per ${\displaystyle e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y}$ ciascun termine in ${\displaystyle y\mathrm{<mo>\prime </mo>}(e^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-3y)=2x{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}-2xy{e}^{x^2}{(y^2+2)}^{\frac{1}{2}}}$ e semplifica.