Calcolo Esempi

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

Passaggio 2

La derivata di $v'$ rispetto a $t$ è $v''$ .

$v''$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 1 - t$ e $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

Passaggio 3.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 3.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 3.3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 3.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.11.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.3.11.3

Riscrivi $- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ come $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

$t$ e $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3.5

Per scrivere $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3.6

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ e $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i termini.

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $- 1$ da $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1.1

Riordina $1$ e $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.1.1.2

Riordina $1$ e $- t$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.1.1.3

Riordina $1$ e $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.1.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.2

Elimina il fattore comune di $t^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Scomponi $t^{2} + 1$ da ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $- t + 1$ per $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.7

Riordina i termini.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8

Riscrivi $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.8.4.1

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.8.4.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8.4.1.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.5.8.5

Sottrai $2 t^{2}$ da $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{t^{2} + 1}$ per $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

Passaggio 3.4.7.2

Eleva $t^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

Passaggio 3.4.7.3

Eleva $t^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 3.4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Scomponi $- 1$ da $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Scomponi $- 1$ da $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.11

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.12

Scomponi $- 1$ da $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.13

Riscrivi $- (t^{2} - 2 t - 1)$ come $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.16

Moltiplica $\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $v'$ con $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$