Calcolo Esempi

$u = \frac{\sqrt{x}}{1 - x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x})$

Passaggio 3

La derivata di $u$ rispetto a $x$ è $u'$ .

$u'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.7.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.12.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15

Semplifica.

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Passaggio 4.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.2.1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.2

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.5

Somma $- x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.2.5.1

Riordina $x^{\frac{1}{2}}$ e $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.2.5.2

Somma $- x^{\frac{1}{2}}$ e $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.2

Combina.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.4

Elimina il fattore comune di $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.5.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.6

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.6.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.6.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1 + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.3.7

Semplifica $x^{1}$ .

$\frac{1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 4.15.4

Riordina i termini.

$\frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$u' = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $u'$ con $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$