Calcolo Esempi

$u = \sqrt{\sqrt{2 v - 9}}$

Passaggio 1

Riscrivi il lato destro con esponenti razionali.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 u' - 9}$ come ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{\frac{1}{2}}{2}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3

La derivata di $u$ rispetto a $u'$ è $u'$ .

$u'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ è $f' (g (u')) g' (u')$ dove $f (u') = {u'}^{\frac{1}{4}}$ e $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 u' - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 u' - 9$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} {(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.6.2

$\frac{1}{4}$ e ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.6.3

Sposta ${(2 u' - 9)}^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]$

Passaggio 4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 u' - 9$ rispetto a $u'$ è $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Passaggio 4.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $u'$ , la derivata di $2 u'$ rispetto a $u'$ è $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9])$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ è $n {u'}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Passaggio 4.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9])$

Passaggio 4.11

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $u'$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $u'$ è $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} (2 + 0)$

Passaggio 4.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}} \cdot 2$

Passaggio 4.12.2

$\frac{1}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 4.12.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 4.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.13.1

Scomponi $2$ da $4 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Passaggio 4.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}})}$

Passaggio 4.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$u' = \frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$u' \approx 4.52650004$

Passaggio 7

Sostituisci $u'$ con $\frac{d u}{d v}$ .

$u' = \frac{d u}{d v} \approx 4.52650004$