Calcolo Esempi

$2 x^{3} y^{2} + \ln (x y^{2}) = 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y^{2} + \ln (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} y^{2} + \ln (x y^{2})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3} y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$2 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$2 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$2 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.2.7

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x y^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $y$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $y$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{3} y y') + 2 (3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y' + y^{2})$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{3} y y') + 2 (3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{3} y y') + 2 (3 y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 x^{3} y y' + 6 (y^{2} x^{2}) + \frac{1}{x y^{2}} (2 x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.3

$2$ e $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2}{x y^{2}} (x y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.4

$x$ e $\frac{2}{x y^{2}}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{x \cdot 2}{x y^{2}} (y y') + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.5

$y$ e $\frac{x \cdot 2}{x y^{2}}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (x \cdot 2)}{x y^{2}} y' + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.6

$\frac{y (x \cdot 2)}{x y^{2}}$ e $y'$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (x \cdot 2) y'}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 \cdot x) y'}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 \cdot y x y'}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.9

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.9.1

Scomponi $y$ da $2 y x y'$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 x y')}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.9.2.1

Scomponi $y$ da $x y^{2}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 x y')}{y (x y)} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{y (2 x y')}{y (x y)} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 x y'}{x y} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.10

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 x y'}{x y} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.10.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x y^{2}} y^{2}$

Passaggio 2.4.3.11

$\frac{1}{x y^{2}}$ e $y^{2}$ .

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{y^{2}}{x y^{2}}$

Passaggio 2.4.3.12

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{y^{2}}{x y^{2}}$

Passaggio 2.4.3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} y y' + 6 y^{2} x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, 1, y, x, 1$

Passaggio 5.1.2

Poiché $1, 1, y, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, x^{1}$ .

Passaggio 5.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.1.6

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 5.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y x$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $y x$ ciascun termine in $4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $4 x^{3} y y' + 6 x^{2} y^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{1}{x} = 0$ per $y x$ .

$4 x^{3} y y' (y x) + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x^{3}) y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{3}) y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 3} y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$4 x^{4} y y' y + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Sposta $y$ .

$4 x^{4} (y \cdot y) y' + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{2} y^{2} (y x) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 (x \cdot x^{2}) y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 (x^{1} x^{2}) y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{1 + 2} y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{2} y + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.4.1

Sposta $y$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} (y \cdot y^{2}) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} (y^{1} y^{2}) + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{1 + 2} + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.5.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + \frac{2 y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + \frac{2 y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + \frac{1}{x} (y x) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.6.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + \frac{1}{x} (x y) = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + y = 0 (y x)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $0 (y x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $0$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + y = 0 x$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$4 x^{4} y^{2} y' + 6 x^{3} y^{3} + 2 y' x + y = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Sottrai $6 x^{3} y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{4} y^{2} y' + 2 y' x + y = - 6 x^{3} y^{3}$

Passaggio 5.3.1.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{4} y^{2} y' + 2 y' x = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 x y'$ da $4 x^{4} y^{2} y' + 2 y' x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $2 x y'$ da $4 x^{4} y^{2} y'$ .

$2 x y' (2 x^{3} y^{2}) + 2 y' x = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $2 x y'$ da $2 y' x$ .

$2 x y' (2 x^{3} y^{2}) + 2 x y' \cdot 1 = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Passaggio 5.3.2.3

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y' (2 x^{3} y^{2}) + 2 x y' \cdot 1$ .

$2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1) = - 6 x^{3} y^{3} - y$

Passaggio 5.3.3

Dividi per $2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)$ ciascun termine in $2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1) = - 6 x^{3} y^{3} - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi per $2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)$ ciascun termine in $2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1) = - 6 x^{3} y^{3} - y$ .

$\frac{2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x^{3} y^{2} + 1} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2 x^{3} y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x^{3} y^{2} + 1} = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{3} y^{3}}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{3} y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x^{3} y^{3})}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x^{3} y^{3})}{2 (x (2 x^{3} y^{2} + 1))} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- 3 x^{3} y^{3})}{2 (x (2 x^{3} y^{2} + 1))} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 3 x^{3} y^{3}}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{3} y^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} y^{3})}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} y^{3})}{x (2 x^{3} y^{2} + 1)} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} + \frac{- y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Per scrivere $- \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 x^{3} y^{2} + 1) \cdot 2 x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{3 x^{2} y^{3}}{2 x^{3} y^{2} + 1}$ per $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3} (2 x)}{(2 x^{3} y^{2} + 1) (2 x)} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(2 x^{3} y^{2} + 1) (2 x)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{3} (2 x)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)} - \frac{y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{3} (2 x) - y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1

Scomponi $y$ da $- 3 x^{2} y^{3} (2 x) - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.1.1

Scomponi $y$ da $- 3 x^{2} y^{3} (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x)) - y}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.1.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x)) + y \cdot - 1}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.1.3

Scomponi $y$ da $y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x)) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y^{2} (2 x) - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.3.3.5.2.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y (- 3 (x \cdot x^{2}) y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y (- 3 (x^{1} x^{2}) y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y (- 3 x^{1 + 2} y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{3} y^{2} \cdot 2 - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.5.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y' = \frac{y (- 6 x^{3} y^{2} - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 6 x^{3} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (6 x^{3} y^{2}) - 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (6 x^{3} y^{2}) - 1 (1))}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (6 x^{3} y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{y (- (6 x^{3} y^{2} + 1))}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.6.4.1

Riscrivi $- (6 x^{3} y^{2} + 1)$ come $- 1 (6 x^{3} y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (6 x^{3} y^{2} + 1))}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (6 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (6 x^{3} y^{2} + 1)}{2 x (2 x^{3} y^{2} + 1)}$